Thales' setning

Sirkel med trekant etter Thales setning.

Regel

Thales’ setning

Thales’ setning sier at en vinkel som har toppunkt på sirkelperiferien og som utspenner diameteren i en sirkel, alltid er $90$ $^{\circ}$ $(u + v = 90^{\circ})$ .

Dette gjør Thales’ setning til et særtilfelle av setningen om periferivinkler og sentralvinkler. Dersom periferivinkelen er

90

^{\circ}

, vil sentralvinkelen være

180

^{\circ}

. Dette stemmer siden diameteren kan sees på som en vinkel på

180

^{\circ}

Tenk på dette

Bevis for Thales’ setning

Av tegningen ser du at trekantene

△ B A P

△ C A P

begge er likebeinte trekanter, fordi to av sidene til begge trekantene er radius i sirkelen. Da kan du skrive vinkelsummen av den røde trekanten på følgende måte:

\begin{array}{l} u + v + v + u & = 180^{\circ} \\ 2 u + 2 v & = 180^{\circ} \\ u + v & = 90^{\circ} \end{array}

Q.E.D

Eksempel 1

Finn alle vinklene i figuren, der $A B$ er diameteren

Siden $A B$ er diameteren så forteller Thales’ setning at $∠ A C B = 90^{\circ}$ . Du vet også at $S B = S C = S A$ er radien i sirkelen. Dermed er $△ B S C$ likebeint og $∠ S C B = 35^{\circ}$ . Da får du at

∠ B S C = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 35^{\circ} = 110^{\circ} .

Videre vet du at $△ A S C$ er likebeint og at $∠ A S C$ er komplementvinkelen til $∠ B S C$ . Da er

∠ A S C = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} .

Da vil

∠ S A C = ∠ S C A = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = 55^{\circ} .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Likningen til en sirkel

Neste oppslag

Apollonius' sirkel

Tilbake